Совершенствование валютных операций Проминвестбанка

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Задача 1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели

Марковица

Цель работы: Получить практические навыки и умения формирования портфелей

ценных бумаг.

Порядок выполнения задания

1. Рассчитать по формулам (3-4) параметры математической модели (2).

2. Составить математическую модель оптимального портфеля (2) по критерию

минимального риска.

3. Решить задачу и определить доли капитала на покупку ценных бумаг

каждого вида.

4. Составить математическую модель оптимального портфеля по критерию

максимальной доходности и заданного риска

5. Решить задачу.

Краткие теоретические сведения.

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных

бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации,

корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги,

то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные

бумаги и получать [pic][pic]дополнительный доход. Но в какой банк

отнести? Какие ценные бумаги купить? Ценные бумаги с низкими рисками,

как правило, и малодоходны, высокодоходные, как правило, более

рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для

решения этого вопроса.

Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка

хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить

деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить

его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его

портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих

его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется

равной Р/, то ( Р/- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в

процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу

его стоимости.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го

вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di-

доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную

единицу.

Найдем доходность всего портфеля dp. С одной стороны, через год капитал

портфеля будет равен 1+dp, с другой – стоимость бумаг i-го вида

увеличится с х до хi+dixi, так что суммарная стоимость портфеля будет

[pic]+[pic][pic]=1+[pic]xidi. Приравнивая оба выражения для стоимости

портфеля, получаем

1+dp = 1+[pic]xidi.

dp=[pic]xidi (1)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной

задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли

формулой (1).

Как правило, доходность колеблется во времени, так что будем считать

ее случайной величиной. Пусть mi, [pic]i – средняя ожидаемая доходность и

среднее квадратическое отклонение ( СКО ) этой случайной доходности, т.е.

[pic]

mi=M[pic] - математическое ожидание доходности и ri=[pic], где Vii –

дисперсия i – й доходности. Будем называть mi,ri соответственно

эффективностью и риском i – й ценной бумаги. Через Vij обозначим

ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов (или

кореляционный момент Кij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и

доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое

ожидание доходности портфеля есть M[pic]=x1M[pic]+…+xnM[pic]=[pic],

обозначим его через mp. Дисперсия доходности портфеля есть D[pic] =

[pic]. Так же, как и для ценных бумаг назовем mp- эффективностью

портфеля, а величину [pic]p=[pic] - риском портфеля rp. Обычно дисперсия

доходности портфеля обозначается Vp.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой:

хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако поскольку

“нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор

между эффективностью и риском (этот выбор, в конечном счете, определяется

отношением ЛПР к эффективности и риску).

Модель оптимального портфеля Марковица , которая обеспечивает

минимальный риск и заданную доходность имеет вид:

[pic](2)

Необходимо определить:

x1,x2…xn

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного,

(приемлемого) риска rp можно представить в виде:

[pic](3)

Основные расчетные формулы для вычисления работы

Исходные данные для расчета является таблица доходности ценных бумаг:

|1 |2 |… |i |… |j |… |n-1 |n |

| | | |di1 | |dj1 | | | |

| | | |di2 | |dj2 | | | |

| | | |… | |… | | | |

| | | |dik | |djk | | | |

| | | |… | |… | | | |

| | | |din | |djn | | | |

Среднее арифметическое доходности i – ой ценной бумаги рассчитывается

по формуле:

di[pic] (4)

Kовариация или корреляционный момент доходностей ценных бумаг:

Vij=M[pic][pic][pic] (5), где [pic] и [pic][pic] - отклонения

доходностей i- й и j– й бумаг от средней арифметической доходности.

Рассмотренные модели относятся к моделям нелинейного программирования.

Для решения следует применить метод сопряженных градиентов или метод

Ньютона. При решении рекомендуется использовать табличный процессор Excel

и его надстройки Анализ данных и Пакет анализа.

Варианты заданий:

Виды ценных бумаг и их доходности

|1 |11,954 |13,907 |14,263 |14,611 |13,491 |12,424 |13 |0,0|

| | | | | | | | |88 |

| |11,913 |12,074 |11,960 |15,207 |13,367 |14,318 | | |

| |11,572 |12,654 |14,203 |11,762 |13,568 |14,922 | | |

| |12,591 |12,880 |13,333 |13,217 |14,256 |15,677 | | |

| |11,638 |12,269 |12,537 |13,624 |13,694 |13,718 | | |

| |12,536 |13,659 |13,864 |12,909 |12,687 |14,753 | | |

|2 |11,820 |13,783 |12,361 |14,612 |12,084 |13,537 |12,5 |1 |

| |11,806 |11,931 |12,132 |13,444 |13,332 |15,209 | | |

| |13,376 |13,424 |14,519 |14,817 |13,918 |16,153 | | |

| |12,175 |12,381 |14,647 |13,911 |13,596 |14,714 | | |

| |10,139 |12,112 |11,820 |10,399 |11,604 |13,345 | | |

| |11,786 |13,505 |13,440 |14,856 |12,688 |13,533 | | |

|3 |11,574 |12,955 |14,174 |14,016 |13,100 |13,394 |13,3 |0,2|

| |12,602 |13,421 |14,663 |15,042 |13,572 |15,713 | | |

| |12,012 |12,654 |12,996 |13,896 |13,463 |12,148 | | |

| |12,245 |13,043 |14,517 |15,338 |14,976 |14,063 | | |

| |12,502 |13,879 |13,744 |14,726 |13,145 |12,669 | | |

| |12,976 |13,482 |14,434 |15,594 |15,467 |14,364 | | |

|4 |14,162 |15,191 |16,511 |15,118 |14,409 |17,416 |14 |0,7|

| | | | | | | | |7 |

| |12,522 |12,995 |15,415 |15,263 |14,700 |13,072 | | |

| |13,123 |15,042 |13,177 |16,430 |14,913 |14,860 | | |

| |12,043 |12,570 |14,005 |14,864 |12,917 |12,820 | | |

| |11,472 |12,600 |11,845 |12,878 |14,097 |14,554 | | |

| |12,441 |13,296 |13,139 |15,486 |12,849 |14,172 | | |

|5 |11,265 |12,891 |11,612 |12,845 |11,401 |13,668 |12,8 |2 |

| |12,131 |12,365 |12,890 |12,283 |13,833 |15,160 | | |

| |14,480 |15,143 |17,277 |15,657 |14,960 |15,963 | | |

| |12,572 |13,837 |12,596 |13,157 |15,296 |16,424 | | |

| |10,865 |12,623 |11,558 |14,056 |10,873 |14,489 | | |

| |11,962 |12,287 |13,799 |12,841 |13,769 |15,677 | | |

|6 |10,908 |11,940 |12,719 |11,464 |12,486 |11,458 |13,123|3,2|

| | | | | | | | |3 |

| |9,766 |9,842 |10,987 |10,843 |12,003 |13,471 | | |

| |11,702 |12,463 |13,454 |12,725 |13,619 |13,226 | | |

| |11,472 |12,097 |12,784 |12,302 |14,188 |12,603 | | |

| |13,503 |13,740 |13,848 |14,758 |15,457 |13,570 | | |

| |15,456 |16,452 |16,450 |17,013 |17,052 |17,229 | | |

|7 |10,161 |12,144 |10,537 |13,397 |10,223 |12,266 |12 |1,2|

| |11,492 |12,945 |11,892 |12,298 |12,097 |11,582 | | |

| |12,428 |12,895 |15,227 |13,407 |14,462 |14,330 | | |

| |12,416 |13,050 |14,567 |15,240 |13,731 |13,284 | | |

| |10,813 |12,380 |12,008 |14,134 |10,968 |11,675 | | |

| |13,388 |14,643 |15,659 |16,734 |15,631 |16,916 | | |

|8 |9,889 |11,603 |11,612 |12,721 |11,453 |12,102 |13,25 |2 |

| |12,517 |13,256 |12,947 |12,596 |12,853 |13,036 | | |

| |12,786 |12,822 |15,447 |14,452 |15,143 |16,247 | | |

| |11,863 |12,114 |13,359 |13,437 |11,913 |15,300 | | |

| |11,444 |13,292 |13,703 |11,504 |13,406 |15,255 | | |

| |14,696 |15,946 |16,829 |17,698 |16,051 |17,140 | | |

|9 |11,999 |13,995 |13,415 |12,868 |12,339 |13,682 |13,333|0,0|

| | | | | | | | |8 |

| |12,241 |12,793 |14,227 |13,426 |12,656 |15,808 | | |

| |12,120 |13,933 |14,592 |13,354 |12,278 |14,786 | | |

| |11,506 |13,401 |12,193 |13,845 |12,406 |13,317 | | |

| |12,376 |13,710 |15,068 |13,133 |12,707 |14,716 | | |

| |12,148 |13,970 |15,119 |12,886 |14,518 |13,300 | | |

|10 |11,293 |11,493 |13,753 |12,936 |12,881 |13,820 |12 |0,3|

| |12,112 |12,919 |12,415 |14,048 |14,770 |14,310 | | |

| |11,429 |13,098 |14,277 |14,551 |11,639 |13,524 | | |

| |10,526 |11,988 |11,705 |12,466 |11,825 |10,864 | | |

| |11,467 |13,364 |12,171 |11,631 |11,923 |13,764 | | |

| |11,467 |13,334 |12,338 |14,208 |12,271 |13,324 | | |

|11 |11,954 |13,381 |14,468 |12,274 |13,094 |13,014 |12 |0,4|

| |11,913 |12,754 |14,452 |13,449 |14,079 |14,121 | | |

| |11,572 |12,623 |11,901 |12,132 |13,555 |14,708 | | |

| |12,591 |14,289 |12,943 |15,645 |15,376 |15,788 | | |

| |11,638 |12,955 |12,637 |11,702 |12,786 |13,542 | | |

| |12,536 |14,495 |14,612 |14,490 |12,852 |12,658 | | |

|12 |11,820 |12,832 |13,906 |12,432 |13,609 |12,919 |12,8 |0,5|

| |11,806 |12,724 |14,135 |14,936 |14,227 |14,873 | | |

| |13,376 |14,119 |14,326 |15,519 |15,372 |15,364 | | |

| |12,175 |12,236 |14,132 |13,943 |12,417 |13,732 | | |

| |10,139 |12,117 |10,606 |10,683 |10,995 |12,416 | | |

| |11,786 |12,572 |14,074 |15,135 |14,459 |12,269 | | |

|13 |11,574 |11,725 |11,798 |12,740 |13,207 |13,470 |13,5 |0,2|

| | | | | | | | |5 |

| |12,602 |14,100 |13,887 |14,496 |13,683 |15,434 | | |

| |12,012 |13,772 |14,191 |13,929 |13,937 |13,956 | | |

| |12,245 |12,743 |14,992 |15,045 |14,583 |12,772 | | |

| |12,502 |13,123 |15,173 |13,344 |12,592 |14,666 | | |

| |12,976 |13,812 |15,706 |15,414 |15,655 |14,494 | | |

|14 |14,162 |15,519 |16,403 |17,273 |15,211 |18,008 |12 |0,5|

| | | | | | | | |96 |

| |12,522 |12,853 |15,488 |15,031 |14,035 |14,447 | | |

| |13,123 |13,967 |13,330 |14,221 |13,849 |16,304 | | |

| |12,043 |13,658 |13,493 |13,774 |14,343 |13,151 | | |

| |11,472 |12,136 |14,103 |12,386 |12,564 |13,363 | | |

| |12,441 |13,616 |12,717 |14,347 |15,090 |15,575 | | |

|15 |11,265 |12,052 |14,016 |14,047 |12,064 |11,667 |13 |0,7|

| |12,131 |12,983 |12,296 |15,291 |14,095 |13,940 | | |

| |14,480 |16,275 |16,717 |16,194 |15,413 |15,427 | | |

| |12,572 |13,244 |14,897 |14,571 |15,340 |15,674 | | |

| |10,865 |11,659 |10,923 |11,533 |13,089 |11,709 | | |

| |11,962 |13,388 |12,492 |14,907 |13,977 |14,358 | | |

|16 |10,908 |11,114 |13,790 |11,873 |13,029 |11,012 |13,5 |2 |

| |9,766 |11,117 |12,354 |11,287 |12,546 |10,249 | | |

| |11,702 |12,455 |13,484 |12,153 |13,075 |12,310 | | |

| |11,472 |12,053 |11,617 |14,065 |11,503 |13,322 | | |

| |13,503 |14,469 |14,195 |16,018 |14,812 |15,556 | | |

| |15,456 |17,355 |16,685 |15,598 |16,603 |19,311 | | |

|17 |10,161 |10,431 |10,695 |13,393 |11,153 |11,751 |12 |0,6|

| | | | | | | | |8 |

| |11,492 |13,087 |11,889 |12,564 |13,613 |11,699 | | |

| |12,428 |14,259 |12,561 |13,100 |13,888 |14,348 | | |

| |12,416 |14,059 |12,522 |13,706 |14,389 |13,536 | | |

| |10,813 |10,818 |12,951 |12,192 |11,765 |14,450 | | |

| |13,388 |14,590 |14,628 |14,764 |14,307 |16,962 | | |

|18 |9,889 |11,198 |10,095 |12,783 |11,183 |10,835 |13,33 |1,5|

| |12,517 |13,735 |14,247 |13,208 |15,072 |15,429 | | |

| |12,786 |13,231 |15,070 |13,013 |14,133 |16,174 | | |

| |11,863 |12,183 |13,377 |13,203 |11,916 |12,421 | | |

| |11,444 |11,999 |13,243 |14,233 |13,024 |12,491 | | |

| |14,696 |14,906 |14,730 |17,126 |17,331 |15,297 | | |

|19 |11,999 |12,509 |12,361 |14,850 |14,026 |15,078 |10 |0,1|

| |12,241 |13,124 |15,153 |14,655 |15,038 |15,460 | | |

| |12,120 |12,240 |12,945 |12,701 |13,006 |13,616 | | |

| |11,506 |12,815 |13,497 |13,746 |13,218 |14,658 | | |

| |12,376 |12,808 |14,477 |15,690 |14,127 |12,427 | | |

| |12,148 |13,932 |13,771 |14,039 |14,440 |12,250 | | |

|20 |11,293 |11,563 |14,165 |14,763 |12,874 |14,426 |12 |0,2|

| | | | | | | | |8 |

| |12,112 |13,348 |13,988 |12,222 |14,409 |13,381 | | |

| |11,429 |11,680 |14,364 |11,472 |13,201 |11,925 | | |

| |10,526 |11,960 |11,740 |12,709 |12,061 |12,319 | | |

| |11,467 |11,774 |11,862 |12,466 |12,013 |12,865 | | |

| |11,467 |11,747 |12,326 |13,699 |13,968 |12,173 | | |

|21 |11,954 |13,543 |13,158 |14,299 |14,420 |12,797 |13,6 |0,0|

| | | | | | | | |6 |

| |11,913 |12,292 |13,565 |13,888 |13,886 |12,930 | | |

| |11,572 |11,745 |12,146 |12,162 |13,720 |15,055 | | |

| |12,591 |14,354 |12,829 |14,346 |13,412 |16,083 | | |

| |11,638 |13,317 |13,026 |11,899 |14,227 |13,862 | | |

| |12,536 |14,156 |14,004 |15,164 |14,165 |12,651 | | |

|22 |11,820 |12,499 |11,834 |15,220 |12,420 |12,394 |13,281|0,5|

| |11,806 |12,803 |14,115 |14,830 |12,295 |14,506 | | |

| |13,376 |13,724 |15,571 |14,055 |15,511 |14,009 | | |

| |12,175 |13,275 |14,218 |14,957 |13,936 |12,930 | | |

| |10,139 |10,635 |10,975 |12,273 |10,431 |13,031 | | |

| |11,786 |13,607 |14,470 |14,452 |13,871 |12,949 | | |

|23 |11,574 |12,615 |12,977 |14,600 |11,962 |12,629 |12,630|1 |

| | | | | | | |4 | |

| |12,602 |14,600 |13,219 |12,806 |14,657 |13,855 | | |

| |12,012 |12,482 |12,072 |13,876 |13,781 |12,645 | | |

| |12,245 |14,012 |13,432 |14,994 |14,489 |14,450 | | |

| |12,502 |12,511 |12,574 |12,581 |13,727 |13,138 | | |

| |12,976 |14,279 |15,732 |15,464 |15,332 |15,686 | | |

|24 |14,162 |15,097 |16,664 |15,119 |15,614 |16,602 |14 |0,9|

| | | | | | | | |9 |

| |12,522 |13,107 |13,259 |15,520 |14,122 |15,000 | | |

| |13,123 |13,462 |14,243 |15,733 |14,196 |13,900 | | |

| |12,043 |12,656 |14,471 |13,502 |13,883 |15,184 | | |

| |11,472 |12,402 |14,301 |11,937 |12,424 |13,662 | | |

| |12,441 |12,922 |12,501 |14,496 |14,711 |16,107 | | |

|25 |11,265 |12,585 |11,693 |11,892 |12,272 |11,771 |13,050|1,8|

| | | | | | | |3 | |

| |12,131 |13,804 |14,553 |12,888 |12,203 |13,570 | | |

| |14,480 |15,883 |16,938 |17,964 |15,827 |16,217 | | |

| |12,572 |13,682 |14,710 |13,215 |14,412 |12,883 | | |

| |10,865 |11,008 |12,093 |10,942 |11,787 |14,353 | | |

| |11,962 |12,771 |12,948 |12,553 |14,741 |14,898 | | |

|26 |10,908 |12,573 |13,457 |13,093 |13,315 |12,251 |13,476|2,5|

| | | | | | | |8 | |

| |9,766 |11,044 |11,508 |11,785 |10,927 |10,205 | | |

| |11,702 |13,345 |13,567 |14,966 |14,416 |13,449 | | |

| |11,472 |11,740 |12,569 |12,698 |13,065 |11,547 | | |

| |13,503 |14,632 |16,452 |14,309 |15,559 |16,024 | | |

| |15,456 |16,674 |17,416 |16,571 |17,512 |19,215 | | |

|27 |10,161 |12,013 |12,309 |13,480 |10,737 |10,362 |12,653|2 |

| | | | | | | |1 | |

| |11,492 |12,874 |12,130 |11,774 |12,208 |13,078 | | |

| |12,428 |14,133 |13,361 |15,555 |13,970 |12,772 | | |

| |12,416 |13,743 |12,485 |15,630 |14,477 |14,736 | | |

| |10,813 |10,866 |12,196 |10,991 |12,082 |11,145 | | |

| |13,388 |15,128 |13,703 |16,777 |13,895 |17,200 | | |

|28 |9,889 |11,361 |10,420 |10,167 |10,772 |11,689 |13,209|1,8|

| |12,517 |12,568 |13,011 |12,590 |13,770 |14,967 | | |

| |12,786 |14,656 |12,976 |13,292 |14,371 |13,211 | | |

| |11,863 |13,064 |14,263 |15,093 |13,658 |12,023 | | |

| |11,444 |12,354 |13,277 |12,915 |13,978 |15,040 | | |

| |14,696 |16,068 |17,289 |15,475 |15,921 |16,822 | | |

|29 |11,999 |13,785 |12,086 |13,075 |12,001 |14,557 |12,489|0,4|

| | | | | | | |1 |88 |

| |12,241 |13,972 |12,655 |15,409 |14,427 |15,364 | | |

| |12,120 |12,223 |13,483 |14,749 |13,943 |15,458 | | |

| |11,506 |12,741 |13,154 |14,019 |13,421 |14,352 | | |

| |12,376 |12,607 |15,165 |15,504 |12,505 |16,273 | | |

| |12,148 |13,647 |13,685 |13,575 |13,531 |13,580 | | |

|30 |11,293 |11,455 |11,496 |13,262 |12,301 |13,370 |12,126|0,5|

| | | | | | | |05 | |

| |12,112 |13,212 |14,231 |14,946 |12,130 |13,687 | | |

| |11,429 |12,990 |11,766 |14,277 |12,649 |12,901 | | |

| |10,526 |10,985 |11,664 |10,955 |12,575 |11,408 | | |

| |11,467 |13,087 |13,639 |12,660 |11,969 |14,170 | | |

| |11,467 |12,661 |13,769 |11,926 |13,023 |14,202 | | |

Задача 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели

Тобина.

Порядок выполнения задачи.

1. В соответствии с вариантом задания получить данные по эффективности

безрисковых бумаг [pic]и допустимому риску портфеля [pic].

2. Данные по эффективности рисковых бумаг [pic] и необходимые

результаты расчетов взять из предыдущей задачи.

3. Составить математическую модель портфеля Тобина минимального риска

(1) и решить ее.

4. Составить математическую модель портфеля Тобина максимальной

доходности и решить ее. При численном решении использовать метод

сопряженных градиентов или Ньютона. Для вычислений можно

использовать ЭВМ.

5. Сделать выводы по работе.

Краткие теоретические сведения.

Портфель Тобина минимального риска

[pic] (1)

где m0 – эффективность безрисковых бумаг;

x0 – доля капитала вложенная в безрисковые бумаги;

xi,xj - доля капитала вложенная в ценные бумаги i-го и j–го видов;

mi – математическое ожидание (среднее арифметическое) доходности i - й

ценной бумаги;

vij – корреляционный момент между эффективностью бумаг i-го и j –го

видов;

Портфель Тобина максимальной эффективности

[pic](2)

где rp – риск портфеля

Расчетные формулы аналогичны формулам задачи составления оптимального

портфеля ценных бумаг Марковица.

Варианты заданий

|№ варианта |m0 |rp |mp |№ варианта |m0 |rp |X0 |

|1 |10 |0,3 |13,5 |16 |9 |0,05 |12,2|

|2 |10 |0,3 |13,3 |17 |9 |0,05 |12,2|

|3 |10 |0,3 |12,55 |18 |9 |0,05 |12,2|

|4 |10 |0,3 |12,55 |19 |9 |0,05 |12,2|

|5 |10 |1 |12,55 |20 |9 |0,05 |12,2|

|6 |10 |0,5 |12,7 |21 |9 |0,05 | |

|7 |10 |0,04|12,7 |22 |9 |0,088 |12,8|

|8 |10 |0,04|12,7 |23 |9 |0,09 |12,8|

|9 |10 |0,04|12,7 |24 |9 |0,12 |12,8|

|10 |10 |0,04|12,7 |25 |9 |0,1 |12 |

|11 |8 |0,05|12,7 |26 |9 |0,05 |12 |

|12 |8 |0,05|12,7 |27 |9 |0,05 |12,3|

|13 |8 |0,09|12,5 |28 |9 |0,12 |12,2|

|14 |8 |0,05|12,5 |29 |8 |0,1 |12 |

|15 |9 |0,05|12,2 |30 |8 |0,1 |12 |